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328 COLL, MARCHESI, PALACIOS & COLS.
– é um conhecimento de um alto nível volvimento do conhecimento matemático não
de abstração e generalidade, que eli- podem ser separados, nesse sentido, da ação
mina as referências a objetos, situa- concreta sobre os objetos, da intuição e das
ções e contextos particulares e que se aproximações indutivas ligadas a tarefas, pro-
desvincula também das formas de re- blemas e contextos particulares, nem tampouco
presentação perceptivas e intuitivas de dos instrumentos e das tecnologias de repre-
tais objetos, situações e contextos; sentação culturalmente elaboradas como apoio
– é de natureza essencialmente deduti- à atividade matemática. Dessa perspectiva, a
va e não se valida mediante o contras- matemática constitui também uma atividade
te com fenômenos ou dados da reali- cultural localizada social e historicamente, in-
dade, como em outras disciplinas cien- fluenciada por critérios mundanos de utilida-
tíficas, mas mediante um processo in- de e intencionalidade, e baseada em práticas
terno de demonstração a partir de de- cotidianas como contar, medir, localizar, dese-
terminadas definições fundamentais ou nhar, brincar ou explicar (Bishop, 1999).
axiomas; tal caráter dedutivo, além dis- Quando consideramos em conjunto os
so, faz com que o conhecimento mate- dois aspectos da matemática, esta nos aparece
mático tenha, em medida ainda maior como um domínio de natureza dual. Por um
que outras ciências, uma estrutura al- lado, a matemática baseia-se na percepção e
tamente integrada e hierarquizada; na descrição da ordem dos acontecimentos no
– apóia-se em uma linguagem formal es- tempo e da organização dos objetos no espa-
pecífica, que apresenta notáveis dife- ço, assim como na resolução de problemas prá-
renças com a linguagem natural: im- ticos, permitindo estudar sistemas não-mate-
plica um conjunto particular de siste- máticos (por exemplo, dividir em partes iguais
mas notacionais, busca a precisão, o um pacote de balas entre alguns amigos, cal-
rigor, a abreviação e a universalidade, cular a distância do observador até o horizon-
e sua finalidade fundamental não é tan- te, a quantidade de intérpretes necessários para
to a representação ou a comunicação que, em uma reunião de representantes de oito
de fenômenos ou de situações reais, países distintos, cada um deles possa falar e
mas a possibilidade de obter resulta- ouvir em seu próprio idioma). Por outro lado,
dos internamente consistentes, reali- tais atividades produzem estruturas simbolica-
zando inferências válidas em termos do mente representadas e hierarquicamente estru-
próprio sistema axiomático que cons- turadas que se tornam objetos de reflexão e de
titui o conhecimento matemático; elaboração em si mesmos, à margem de sua
– suprime intenções, emoções e afetos origem no mundo real, dando lugar à formu-
e é de natureza essencialmente teóri- lação de questões ou de problemas de caráter
ca, impessoal e atemporal. estritamente intramatemático (por exemplo,
quantos elementos diferentes é possível colo-
Não é presumível que o leitor esteja radi- car em uma tábua simétrica de ordem n?; quan-
calmente em desacordo com o fato de que as do duas frações irredutíveis são iguais?) (De
características anteriores definem o conheci- Corte, Greer e Verschaffel, 1996; Chevallard,
mento matemático e muito provavelmente con- Bosch e Gascón, 1997).
siderará que descrevem adequadamente pelo Essa dualidade nos permite falar de dois
menos boa parte de sua experiência matemá- tipos distintos de significados relacionados com
tica escolar. Contudo, e em que pese a evidên- o conhecimento matemático; um interno, for-
cia em favor de uma caracterização como a que mal, puramente matemático, e outro externo,
recém formulamos, vale afirmar que essa é ape- referencial, que vincula o sistema formal da
nas uma face da moeda matemática. De fato, a matemática a alguns aspectos do mundo real.
matemática tem também uma dimensão me- A coordenação dos dois tipos de significados é
nos abstrata e descontextualizada, mas funcio- muito complexa e constitui um obstáculo cen-
nal e relacionada com a resolução de proble- tral na aprendizagem da matemática. De fato,
mas práticos em situações concretas, mais prag- em muitos casos, constata-se que os alunos não
mática e localizada. A elaboração e o desen- chegam a coordená-los, mas os mantêm sepa-

